Sifat Aljabar Bilangan Real

Sifat-sifat Aljabar bilangan real adalah sebagai berikut
(A1) a+b = b+a,  untuk setiap a,b anggota bilangan real
(A2) (a+b)+c = a+(b+c), untuk setiap a,b,c anggota bilangan real
(A3) Terdapat sebuah elemen 0 anggota bilangan real sedemikian sehingga 0+a  = a+0 = a, untuk setiap a anggota bilangan real
(A4) untuk setiap a anggota bilangan real , terdapat elemen (-a) yang juga bilangan real sedemikian sehingga a+(-a) = (-a)+a = 0
(M1) a.b = b.a,  untuk setiap a,b anggota bilangan real
(M2) (a.b).c = a.(b.c), untuk setiap a,b,c anggota bilangan real  
(M3) Terdapat sebuah elemen 1 anggota bilangan real yang tidak sama dengan 0, sedemikian sehingga 1.a  = a.1 = a, untuk setiap a anggota bilangan real.
(M4) Untuk setiap a anggota bilangan real dan a ≠ 0, terdapat sebuah elemen (1/a) sedemikian sehingga a.(1/a) = (1/a).a = 1
(D) a.(b+c) = (a.b)+(a.c), dan (b+c).a = (b.a) + (c.a), untuk setiap a,b,c anggota bilangan real

Selanjutnya beberapa teorema yang terdapat dalam sifat-sifat aljabar bilangan real adalah sebagai berikut.
(1) Jika z dan a anggota bilangan real dengan z+a = a, maka z = 0
(2) Jika u, b anggota bilangan real dan b ≠ 0 serta u.b = b, maka u = 1
(3) Jika a anggota bilangan real, maka a.0 = 0
(4) Jika a, b anggota bilangan real dan a ≠ 0 sedemikian sehingga a.b = 1, maka b = 1/a
(5) Jika a.b = 0, maka a = 0 atau b = 0, untuk setiap a,b anggota bilangan real 

1 > 0

1 > 0

Misalkan P adalah himpunan bilangan real positif yang merupakan subset dari R.

P tidak kosong.

Berdasarkan sifat trikotomi jika a ≠ 0, maka

a € P atau -a € P

diperoleh:

a^2 = a.a € P serta a^2 = (-a)(-a) € P

sehingga

a^2 > 0, untuk a ≠ 0

selanjutnya pilih a = 1, diperoleh

a^2 = 1^2 = 1.1 = 1 > 0

dengan demikian terbukti bahwa

1 > 0 

Artikel Pengembangan Bahan Ajar

Pengembangan Bahan Ajar

dengan Pendekatan Saintifik

pada Materi Lingkaran di Kelas VIII SMP 

Abstrak

Bahan ajar merupakan bagian penting dalam pelaksanaan pendidikan di sekolah. Bahan ajar dapat dibuat dalam berbagai bentuk sesuai dengan kebutuhan dan karakteristik materi ajar yang akan disajikan. Namun, kecenderungan berfikir yang lebih berorientasi pada hasil daripada proses mengakibatkan bahan ajar yang digunakan hanya didasarkan pada bentuk sajian yang terdapat pada buku-buku acuan tanpa dilakukan proses rekontekstualisasi dan repersonalisasi. Salah satu solusi untuk menyelesaikan masalah tersebut adalah dengan mengembangkan bahan ajar melalui suatu bentuk penelitian desain. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui bentuk tugas-tugas pada bahan ajar materi lingkaran dengan pendekatan saintifik. Metode penelitian yang digunakan terdiri dari tiga tahap, yaitu preliminary design, experiment, dan retrospective analysis. Pada tahap preliminary design dibuat Hypothetical Learning Trajectory (HLT) atau hipotesis lintasan belajar siswa. Selanjutnya desain bahan ajar yang sudah dirancang diujicobakan pada tahap  experiment. Pada tahap retrospective analysis dilakukan analisis terhadap data yang diperoleh dari hasil ujicoba. Analisis data yang dilakukan meliputi data reduction, display data, dan conclusion. Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa terdapat sejumlah hambatan yang dialami oleh siswa dalam memahami dan mempelajari bahan ajar yang disajikan. Oleh karena itu, dilakukan revisi terhadap bahan ajar tersebut.

Kata kunci: Bahan Ajar, Penelitian Desain, Pendekatan Saintifik, Lingkaran

(Rafiq Badjeber) Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Sains dan Teknologi (SENSAINTEK) 2015, UIN Sunan Gunung Djati, Bandung, Jawa Barat. 

SCOPUS JOURNAL TITLES

SCOPUS JOURNAL TITLES
Subject Area - Social Sciences

(Mathematics Education)

1. Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyiregyhaziensis, Hungary

2. American Journal of Mathematical and Management Sciences, United States

3. British Journal of Mathematical and Statistical Psychology, United Kingdom

4. Educational Studies in Mathematics, Netherlands

5. Eurasia Journal of Mathematics, Science and Technology Education, Turkey

6. IMA Journal Management Mathematics, United Kingdom

7. International Electronic Journal of Mathematics Education, Turkey

8. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, United States

9. International Journal of Science and Mathematics Education, Netherlands

10. Journal for Research in Mathematics Education, United States

11. Journal of Mathematical Psychology, United States

12. Journal of Mathematics Teacher Education, Netherlands

13. Mathematical Thinking and Learning, United States

14. Mathematics Education Research Journal, Australia

15. Teaching Mathematics and its Applications, United States

Penggunaan Konsep Gradien pada Fungsi Linear

Menentukan Nilai suatu fungsi linear

fungsi linear merupakan suatu topik yang cukup penting untuk dipahami karena merupakan bagian dari materi pembelajaran matematika di SMP. Selain konsep dasar tentang fungsi, masalah yang sering dimunculkan dalam topik ini yaitu menentukan nilai suatu fungsi. Dalam menentukan nilai suatu fungsi linear pun ada beragam bentuk persoalan yang lazim diberikan. Bentuk paling sederhana yaitu ketika nilai pada  daerah asalnya (nilai x) diketahui dan kemudian diminta untuk menentukan nilai yang bersesuaian di daerah kawannya (nilai y atau f(x)). Namun, pembahasan saya bukan mengenai hal tersebut, melainkan bentuk permasalahan ketika terdapat suatu fungsi linear yang nilainya diketahui untuk dua nilai x yang berbeda dan kemudian diminta untuk menentukan nilai fungsi tersebut pada nilai x yang lain.

Contoh

f(x) merupakan suatu fungsi linear. Diketahui nilai f(1) = -1 dan f(4) = 5. Tentukan nilai f(-1) dan f(3) !

Untuk menyelesaikan soal di atas, cara yang paling lazim digunakan yaitu dengan mengubahnya menjadi bentuk sistem persamaan linear dua variabel dan kemudian melakukan proses eliminasi dan subtitusi dengan tujuan untuk memperoleh bentuk fungsi linear tersebut. Setelah itu, nilai x yang ditanyakan kita subtitusikan ke dalam fungsi yang telah kita peroleh untuk memperoleh jawaban atas pertanyaan yang diberikan

Nah, disini saya mencoba untuk menyelesaikannya dengan teknik lain tanpa perlu mengetahui bentuk fungsi linear tersebut. Cara ini dengan memanfaatkan konsep gradien pada persamaan garis lurus.