Sifat Aljabar Bilangan Real

Sifat-sifat Aljabar bilangan real adalah sebagai berikut
(A1) a+b = b+a,  untuk setiap a,b anggota bilangan real
(A2) (a+b)+c = a+(b+c), untuk setiap a,b,c anggota bilangan real
(A3) Terdapat sebuah elemen 0 anggota bilangan real sedemikian sehingga 0+a  = a+0 = a, untuk setiap a anggota bilangan real
(A4) untuk setiap a anggota bilangan real , terdapat elemen (-a) yang juga bilangan real sedemikian sehingga a+(-a) = (-a)+a = 0
(M1) a.b = b.a,  untuk setiap a,b anggota bilangan real
(M2) (a.b).c = a.(b.c), untuk setiap a,b,c anggota bilangan real  
(M3) Terdapat sebuah elemen 1 anggota bilangan real yang tidak sama dengan 0, sedemikian sehingga 1.a  = a.1 = a, untuk setiap a anggota bilangan real.
(M4) Untuk setiap a anggota bilangan real dan a ≠ 0, terdapat sebuah elemen (1/a) sedemikian sehingga a.(1/a) = (1/a).a = 1
(D) a.(b+c) = (a.b)+(a.c), dan (b+c).a = (b.a) + (c.a), untuk setiap a,b,c anggota bilangan real

Selanjutnya beberapa teorema yang terdapat dalam sifat-sifat aljabar bilangan real adalah sebagai berikut.
(1) Jika z dan a anggota bilangan real dengan z+a = a, maka z = 0
(2) Jika u, b anggota bilangan real dan b ≠ 0 serta u.b = b, maka u = 1
(3) Jika a anggota bilangan real, maka a.0 = 0
(4) Jika a, b anggota bilangan real dan a ≠ 0 sedemikian sehingga a.b = 1, maka b = 1/a
(5) Jika a.b = 0, maka a = 0 atau b = 0, untuk setiap a,b anggota bilangan real 

Soal-soal1. Jika a,b anggota bilangan real, maka buktikan.
a). jika a+b = 0, maka b = -a
b). -(-a) = a
c). (-1).a = -a
2. Buktikan bahwa jika a,b anggota bilangan real, maka
a). -(a+b) = (-a)+(-b)
b). 1/(-a) = -(1/a) 
c). (-a).(-b) = a.b
3. Jika a,b anggota bilangan real dengan a ≠ 0 dan b ≠ 0, buktikan bahwa 1/(ab) = (1/a).(1/b)
4. Jika a anggota bilangan real yang memenuhi a.a = a, maka buktikan bahwa a = 0 atau a = 1.

Jawab 
1. Diketahui a,b bilangan real
a). a + b = 0
    (-a) + (a+b) = (-a) + 0        
    [(-a)+a] + b = -a
    0 + b = -a
    b = -a
b). -(-a) + (-a) = 0
     [-(-a)+(-a)] + a = 0 + a
     -(-a) + [(-a)+ a] = a
     -(-a) + 0 = a
     -(-a) = a
c). Silahkan dicoba sebagai latihan
2.  Diketahui a,b bilangan real
a) -(a+b) + (a+b) = 0
    [-(a+b) + a] + b = 0
    [-(a+b) + a] + [b + (-b)] = 0 + (-b)
    [-(a+b) + a] + 0 = (-b)
    [-(a+b) + a] + (-a) = (-b) + (-a)   
    -(a+b) + [a + (-a)] = (-b) + (-a)
    -(a+b) + 0 = (-b) + (-a)
    -(a+b) = (-b) + (-a)  
    -(a+b) = (-a) + (-b)
b). [-a].[1/(-a)] = 1
     (-1).a.[1/(-a)] = 1
     (1/a).{(-1).a.[1/(-a)]} = (1/a).1
     (1/a).{a.(-1).[1/(-a)]} = (1/a)
     {(1/a).a}.{(-1).[1/(-a)]} = (1/a)
     1.{(-1).[1/(-a)]} = (1/a)
     (-1).[1/(-a)] = (1/a)
     (-1).{(-1).[1/(-a)]} = (-1).(1/a)
    {(-1).(-1)}.[1/(-a)] = (-1).(1/a)
     1.[1/(-a)]} = (-1).(1/a)
     1/(-a) = -(1/a)
c). Silahkan dicoba sebagai latihan
3.  Diketahui a,b anggota bilangan real dengan a ≠ 0 dan b ≠ 0,
     [ab].[1/(ab)] = 1
     [1/a)].{[ab].[1/(ab)]} = (1/a)
     [(1/a).a][b.[1/(ab)] = (1/a)
     1.{b.[1/(ab)]} = (1/a) 
     b.[1/(ab)] = (1/a)
     (1/b).{b.[1/(ab)]} = (1/b).(1/a) 
     [(1/b).b].[1/(ab)] = (1/b).(1/a) 
     1.[1/(ab)] = (1/b).(1/a) 
     1/(ab) = (1/b).(1/a) 
     1/(ab) = (1/a).(1/b)(1/b).(1/b).(1/b)( 
4. Silahkan dicoba sebagai latihan