Induksi Matematika (Pembuktian 1)

Induksi Matematika

              Dalam melakukan pembuktian matematis banyak dikenal berbagai teknik pembuktian. Ada pembuktian langsung, pembuktian tak langsung jenis kontrapositif, pembuktian tak langsung jenis kontradiksi, pembuktian ketunggalan dan sebagainya. Salah satu cara pembuktian yang sering digunakan khususnya dalam lingkup bilangan asli adalah pembuktian dengan induksi matematika. Pemecahan problem matematika dilakukan dengan menggunakan proses yang bersifat induktif, yaitu secara berurutan.

Bagaimana alur proses penerapan induksi matematika untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan ? perhatikan uraiannya di bawah ini.

Diberikan pernyataan P(n) untuk setiap bilangan asli n , jika diketahui

(i)  P(1) merupakan pernyataan yang benar

(ii) Untuk setiap bilangan asli n , jika P(n) benar berakibat  juga P(n+1) benar

Maka pernyataan  P(n) merupakan pernyataan yang benar untuk setiap n bilangan asli.

     Berdasarkan uraian di atas, jika diberikan suatu pernyataan untuk setiap bilangan asli, maka langkah-langkah pembuktian bahwa  benar dengan menggunakan induksi matematika adalah sebagai berikut.

(i)    Membuktikan  bahwa  P(1) bernilai benar

(ii)   Mengasumsikan pernyataan P(n) benar untuk setiap n=k

(iii) Membuktikan bahwa pernyataan P(n)  juga benar untuk  n = k+1 (berdasarkan langkah (ii))

Induksi matematika yang dibahas di atas merupakan induksi matematika biasa. Selain induksi matematika biasa, terdapat pula induksi matematika kuat. Namun materi ini tidak dibahas disini karena hanya biasa dipergunakan dalam olimpiade tingkat internasional.

Contoh :

Buktikan bahwa 1 + 4 + 9 + 16 +...+ n^2 = 1/6n(n+1)(2n+1) 

untuk setiap bilangan asli n  !

penyelesaian

P(n) = 1/6n(n+1)(2n+1) !

(i) untuk n = 1, diperoleh

P(1) =  1/6.1(1+1)(2.1+1) 

1   = 1/6.(2)(3) 

1 = 1 (benar) 

(ii) Andaikan benar untuk n = k, berarti P(k) =
1/6k(k+1)(2k+1), akan dibuktikan juga benar untuk n = k + 1

 1+4+9+16+...+ k^2 + (k+1)^2 = 1/6k(k+1)(2k+1) + (k+1)^2

 1+4+9+16+...+ k^2 + (k+1)^2 = 1/6(k+1)[k(2k+1) + 6(k+1)]

 1+4+9+16+...+ k^2 + (k+1)^2 = 1/6(k+1)[2k^2 + k + 6k+6]

 1+4+9+16+...+ k^2 + (k+1)^2 = 1/6(k+1)[2k^2 + 7k+ 6] 

 1+4+9+16+...+ k^2 + (k+1)^2 = 1/6(k+1)[(k+2)(2k+3)]   

1+4+9+16+...+k^2+(k+1)^2=1/6(k+1)[((k+1)+1)(2(k+1)+1)] 

Jadi, P(n) juga benar untuk n = k+1 

berdasarkan(i) dan (ii) terbukti bahwa  

1 + 4 + 9 + 16 +...+ n^2 = 1/6n(n+1)(2n+1) 

untuk setiap bilangan asli n